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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 5\XS^d#7!  
DeAB>MyM  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $#c%Z6]M  
)Et[DOmF<  
　　1、三角函数本质： 2h/5|#v  
mhJuKE1J]  
　　三角函数的本质来源于定义 Ce^;wlE  
Z nwnV*  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 f;u")\rz  
 .dJ   
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 [eM_`& ?  
! }S[=,Ko6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： +eDPr%K  
zVxFsd1bCP  
　　推导： v>/2] 5  
7c. )Bl`a  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 n?/kMH  
T{Ah H4^V  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -?%p8~pW  
-BJc>dK1  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) >i@2WmeK  
r*f+X-Z_~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +;CSef%9]  
8xGt6S  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） y@ #EJ3pN  
u) B<XL]  
　　[1] '}fL;Pb!  
pIbvlq4  
　　两角和公式 CzW!  
xKKz++t2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB z7;] }A?]  
Vs-X70V  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >H=*'p/C  
\F/.YcL  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9b?}*E  
gP-UJ_  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0P(K -vk${  
P0biotp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)  1KsN"ZX  
CMoZz}9&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) YK9CS\}  
@ t$3P$  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ;m^Z:)  
rrot`a<  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u&R7a4Q2  
E4p6?~  
倍角公式 rah:e  
]VC F.;(  
　　Sin2A=2SinA•CosA xWRiY5~+?  
t71,(j)#  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @hE`L$Ljh  
hgPl'Pe@LU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） WPc{Kk,\Y  
eZ\`+ .072  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） :wWFQEavQ  
MW"<YL[  
三倍角公式 uGXX=2  
RWzyM'VM6;  
　　 !;C[{  QS  
Es[vT@2  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) yPsmSQ  
H`1Qc 4E  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Wy}9h\7=  
l|"Vi>c#  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ff2O o>  
pG[&oQXx  
三倍角公式推导 ZM7h1K]  
ilgK[ -  
　　sin3a >&wT} z  
=Y_:S@"UQn  
　　=sin(2a+a) @Dx#R'kCK  
.QN%\*ZMF  
　　=sin2acosa+cos2asina &O3x)$=  
x=:R~-I{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina s97fI'8  
7IHWZ=,\  
　　=3sina-4sin³a ,E= ga   
5R|UgE  
　　cos3a j#vD;T1W  
J:T_}H;\  
　　=cos(2a+a) K[&1IsST2  
,C5mR3^b  
　　=cos2acosa-sin2asina ^-~ak% nk  
&)\Q }V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;#Pb<V  
p{2QP)wL  
　　=4cos³a-3cosa -?"Pe3C~x  
5aG&r^B+6  
　　sin3a=3sina-4sin³a :T7c<,/xR  
{J!3 V|.  
　　=4sina(3/4-sin²a) "~C`k\b  
~-)' {SG  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] qSm y}  
H~}J7S  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) [0_|ap8g  
iAK7GZc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) }ho4P,}S9  
?@Y8|UC~AA  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m] EZ~3cI0  
h?gYn|3  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) lD4 i  
,jYH~ 24_  
　　cos3a=4cos³a-3cosa e_f':Z  
Z*dXojTX  
　　=4cosa(cos²a-3/4) YH6^2o@l$  
05W|* MIi  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] MjS= }r  
O|s$"J{  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) (q3TX^rC  
JKc`!ws8X  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) d^ d  
N56tXO=7Ld  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $unKs~kp  
eG5i)r  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _0~d5<  
FdxJgyP  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (MYDE~%^  
:c ?QS<l  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }^L ,y4%  
[u-#`]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) q-*>R3Cx  
7e JBk]3  
　　上述两式相比可得  %)Yc.  
<6EJEgf7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h1fISFlqEp  
IDwY)~gA[  
半角公式 Z2z~~%#  
dkyJ:K :  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  l-NHtU)  
{<Wd^R;{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. x`UyOku  
=JJ17[  
和差化积 %f];qet+c  
-07J_a  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  , coe  
'r|^F:v  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `1gzr\h  
@{*#vuy8Cq  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c]|pR]1$p  
K)py~n)h  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SfFPZ<^H  
:&Xsmb\0n  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9UO".(  
5EL6 h9#Q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) VY,2d})2  
^AA~/eVc  
积化和差 p'A$=wzfN&  
l/gsjfJo  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *'[@v@-  
<z! < Zx  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] -Pm2hPB1  
Tvt2 z/`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] lnK{Ju  
heu' !x  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =y].8fL  
{^pE8i 8  
诱导公式 8.#Y0pp  
,&f@3p:_  
　　sin(-α) = -sinα xM1ace\  
BEuM)|F  
　　cos(-α) = cosα nsy6J2-C4  
2a+)qL4nX  
　　sin(π/2-α) = cosα `=v@R(Sg  
Ve7Ey^ =  
　　cos(π/2-α) = sinα ak]k S3Z  
\ .O'#(  
　　sin(π/2+α) = cosα Si>|&7C6  
~Te|IO,<X  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2$ISeO{  
+}Bic;CN"h  
　　sin(π-α) = sinα Nrc=wBsg  
JC@b4E  
　　cos(π-α) = -cosα ABM-vnB-U9  
>"woBji6  
　　sin(π+α) = -sinα V&#[y80p-  
S0|E_S,g4  
　　cos(π+α) = -cosα ,?7TW/U1  
qx!ZM}$O  
　　tanA= sinA/cosA [%dokb?  
q2.2+ !Vlc  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7HMaz  
k +J6"_U$*  
　　tan（π/2－α）＝cotα P5>Md=) F  
Q3D R?u  
　　tan（π－α）＝－tanα !Q\jw j)p  
&  cV38D  
　　tan（π＋α）＝tanα cO" k2e  
*sMA1qyyz,  
万能公式 #dUS`(M>|  
ZVRx->l*  
　　 1o"%5@  
5X&hK:61(  
其它公式 WE0&zR9<  
caJbN]Y<  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /u:vnS=D}  
4S;; ^(  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %*c,E+a&  
qKqC$4B,lA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _gHwe.\&y  
6:i+DjE  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 62C3=&2"y|  
cqCOU@E  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?p6QocA-b  
9CkC8iS-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;d'-gJk ,  
`e]CwN`b  
　　证: 3~$rlO+  
w l%Fn=  
　　A+B=π-C <RBjA ;r+  
7YNV5Y8GI  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !5hD@Hh  
PJ |&L|=  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 1 /Y'5!e.  
&&/~xr_X  
　　整理可得 cN>qv9m*O  
ppFiGlS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W(,1Fxlb  
Srib#)r0  
　　得证 ?'j!==  
EzM} oD  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Zf,En|FbR  
t>!tySVl  
其他非重点三角函数 J F3I;i'M  
N?VMNzZ)  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]qr6 $  
/Yf i}R`2  
　　sec(a) = 1/cos(a) DZ=5b9rr  
N)dv%SU  
　　 =2>e%(qx!J  
DZn&q6O+  
双曲函数 ,=zxq%  
[4mnpW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 iaZb@nv^  
hD~b<3N  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9xRU^;a  
#dV791~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) p=r)sN="  
p$:hYL2  
　　公式一： k^t_ 8i&F  
~.VzdH|8)X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： >=Tx"G*  
-9R!F'[S  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u A#\8`}2  
VRM!v<&o^  
　　cos（2kπ＋α）= cosα OQIC'g+fq  
Z"yxtx  
　　tan（kπ＋α）= tanα _e- qbKCP7  
O"Ij.l  
　　cot（kπ＋α）= cotα l7O&>aZ.  
GlRB~sn  
　　公式二： 1w7w}]$ %  
QFSwHz_^E<  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： FHW B*Z6  
[3NcXc&HR7  
　　sin（π＋α）= -sinα `./DNOsG(  
rh3Q>=kKrC  
　　cos（π＋α）= -cosα el/X 7h  
3m4TN6.[  
　　tan（π＋α）= tanα !L-@o  
j']>LKaYY  
　　cot（π＋α）= cotα #2] ;=rT  
S!`T"#n1  
　　公式三： $.(a=&]  
3C;/-  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： TmvYcb9  
=[ FGy'z  
　　sin（-α）= -sinα g}Vvkf  
-6 -&6N~I  
　　cos（-α）= cosα W_3D6h9  
B= ]s=E  
　　tan（-α）= -tanα +rQSu~5d@  
FD76F4)  
　　cot（-α）= -cotα 2vWCe%N  
I+w1@)WE~  
　　公式四： <I'DQ<  
=_Cw.zM(8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： cJ$Sx$1V  
6K iC\zvP  
　　sin（π-α）= sinα uOkeYQ@,}  
{!1+!,O!  
　　cos（π-α）= -cosα I)~l4/.'  
lS"| y  
　　tan（π-α）= -tanα uai[F5e  
R 8A gn-6  
　　cot（π-α）= -cotα (,zUi>}n  
fD2wpmc  
　　公式五： zTd;xh6  
tw;J 5`in  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： m" H2^ZT  
Fk3xU @  
　　sin（2π-α）= -sinα 2UzXi?*\  
PTgu `-la  
　　cos（2π-α）= cosα X !~^Y&  
MYd6.//9C  
　　tan（2π-α）= -tanα dSJSBo  
:]$+ T&l*  
　　cot（2π-α）= -cotα ^4=Dz~.  
P|gzpmlS  
　　公式六： <eh^OXrl|  
Mx]pUo k9  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sjJfnl}  
v(dd/8A~  
　　sin（π/2+α）= cosα VmzjA?+w-  
8m[99FYb  
　　cos（π/2+α）= -sinα 4N(bXX}([:  
-lGK:^Ci  
　　tan（π/2+α）= -cotα 9c!ONs3CY  
YW'/au  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~l8.]4  
W;Txk4O  
　　sin（π/2-α）= cosα ,LdpzP24  
v.h;?a  
　　cos（π/2-α）= sinα qeM$g   
y'+|:*#m  
　　tan（π/2-α）= cotα f}%1U 8[s  
xl<b B\  
　　cot（π/2-α）= tanα RI%lb;j  
KT4l]Tkw  
　　sin（3π/2+α）= -cosα M>q Ao  
kv1M 9c.?  
　　cos（3π/2+α）= sinα iQ N%9bIa}  
Ts 9f+xJ=;  
　　tan（3π/2+α）= -cotα $$-nUk 'm  
7Uzl 7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα (3 l %E}  
?B~JNsf#  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 45P fV{Jz  
Poy2VwSK  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (muS!_F}L  
#On_C*WZ^  
　　tan（3π/2-α）= cotα '|f-~R3  
ez4$X[.  
　　cot（3π/2-α）= tanα M3n> +!  
S([Q( P)  
　　(以上k∈Z) yKNw#17  
/Iu7M K  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 H>S#1k6b{  
e&"26?fCX  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]<D0B+U"Y  
iV=nUrC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Xt_|IIZEJD  
W~BUs*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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